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已知函数 f(x)=lnx+ 1-x ax ,其中a 为大于零的常数.

已知函数 f(x)=lnx+
1-x
ax
,其中a
为大于零的常数.
(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)内调递增,求a的取值范围;
(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值;
(3)求证:对于任意的 n∈ N * ,且n>1时,都有lnn>
1
2
+
1
3
+…+
1
n
成立.
我是傻比 1年前 悬赏5滴雨露 已收到1个回答 我来回答 举报

来点美女 幼苗

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(1)∵函数 f(x)=lnx+
1-x
ax ,其中a 为大于零的常数,
∴ f ′ (x)=
1
x -
1
a x 2 =
x-
1
a
x 2 .
∵函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,
∴当x≥1时,f (x)≥0恒成立,即
1
a ≤x (a>0),x∈[1,+∞)恒成立⇔
1
a ≤[x ] min ,(a>0)x∈[1,+∞)⇔
1
a ≤1 (a>0).
解得a≥1.即为所求的取值范围.
(2)(i)由(1)可知:当a≥1时,f(x)在区间[1,2]上单调递增,
∴当x=1时,函数f(x)取得最小值,且f(1)=0.
(ii)当0<a≤
1
2 时,
1
a ≥2 ,∴当x∈[1,2]时,f (x)≤0,∴函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,
∴当x=2时,函数f(x)取得最小值,且f(2)=ln2-
1
2a .
(iii)当
1
2 <a<1 时, 1<
1
a <2 .
令f (x)=0,则 x=
1
a .
当 1<x<
1
a 时,f (x)<0;当
1
a <x<2 时,f (x)>0.
∴当 x=
1
a 时,函数f(x)取得极小值,因为在区间[1,2]内只有一个极小值,所以也即最小值,∴最小值为 f(
1
a ) = 1-
1
a -lna .
(3)由(1)可知:令a=1,则函数f(x)=lnx +
1-x
x 在区间[1,+∞)上单调递增.
再令 x=
n+1
n , f(1+
1
n )>f(1) ,而 f(1+
1
n )=ln
n+1
n -
1
n+1 ,f(1)=0,
∴ ln(n+1)-lnn>
1
n+1 .
∴lnn=(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+[lnn-ln(n-1)]>
1
2 +
1
3 + … +
1
n ,
即lnn>
1
2 +
1
3 + …
1
n .

1年前

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